在中学数学中，方程是以初等函数和解析式的运算为基础的，这就是方程与函数间的本质联系。尽管中学数学教材中将方程定义为“含有未知数的等式”，可是实质上，任何一个方程都可以整理为
的形式，进而可表示成
的形式，其中，
，显然
就可看作函数。这与笛卡儿的“万能代数模型”相接近。“万能代数模型”的基本思想是把任何类型的问题转化为数学问题——数学化思想；把任何类型的数学问题转化为代数问题——代数化思想；把任何类型的代数问题转化为方程问题——方程化思想。即把任何问题都归结为解单一的方程问题。现在看来，尽管这种“万能策略”没有彻底实现，但是它适用于举之不尽的情况，尤其涉及中学数学中的大部分情况。在这里我们从对称性的角度来研究方程。
《可畏的对称》作者徐一鸿（物理学家，科普作者）给对称的定义是：如果对一个几何图形进行某种操作，而图形保持不变，那么图形对这种操作是对称的。我们将该定义引申为同解的两个方程保持解的不变性，称作关于这个解绝对对称，无解的两个方程称为关于任意数内在对称，变形过程导致增根或丢根的两个方程我们称为相对对称。我们知道，解是方程的最基本问题，故研究方程的问题实质上就是研究方程的解法问题。为叙述方便，我们以一元方程为例展开论述，如需推向一般情形，只要补充即可。
在中学数学中，如果方程(1)：
的任何一个解都是方程(2):
的解，并且方程(2)的任何一个解也都是方程(1)的解，那么方程(1)与方程(2)是同解方程。从对称性角度讲，方程(1)与(2)关于它们相同的解或解集绝对对称。特别约定两个方程当且仅当每一个重根具有相同的重复次数时，才认为它们是同解方程。如方程
与方程
虽然有相同的根
,可重数不同，故不是同解方程。但是我们可以说方程与方程关于根相对对称，因为时能同时保证这两个方程成立。将方程的对称性推广到无解方程可得任意两个无解方程都是内在对称的，如方程
与方程
在实数域上都无解，故它们是内在对称的。这里要强调实数域是因为同一个方程在不同的数域上解集不同，在考虑方程有无解时，需首先确定所研究的数域。如方程,在实数域上无解，但在复数域上有两个互为共轭复数的根。该方程与方程在实数域上内在对称，但在复数域上却关于
相对对称，而且后者在复数域上有
个复数根，都是以共轭复数的形式成对 存在的。如果把这个根标到圆周上，正好与该圆的内接正边形的顶点相吻合。在解形如的方程时，我们常常在左右两侧同时加上或减去
,得新的方程
,如果对于原方程的定义域中的数都有意义，则这两个方程同解，即绝对对称。这就是解方程过程中的恒等变形，确保方程的解不变，属于对称变换。若
,那么
与也是绝对对称的。 这与等式的性质“在等式两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或式，等式不变”是一致的。但是解方程时若除以,则有可能丢根，使所得方程与原方程的绝对对称性变为相对对称性。还有的非恒等变形可能产生增根，破坏方程的绝对对称性，如下列情况：
- 将方程两边同时
次方或开次方根，当为奇数时，所得新方程
(或
)与原方程绝对对称，但当为偶数时，因产生增根或丢根而变为相对对称。尤其解形如
的根式方程时，我们总是先两边平方，得
,无形中扩大了原方程的定义域，必然会产生增根。再如方程
,初学者总是得
，丢掉
的情形。所以解根式方程或开次方根时，验根是必不可少的一步，以确保解方程过程中变形的绝对对称性。 - 将方程的两边同时取对数或三角函数，或应用合分比性质变形时，都会 将原方程的定义域放大或缩小。如解形如
的方程时，我们一般作万能代换，设
,将原方程变形为
的形式，使原方程的定义域受
的限制，因此缩小了原方程的定义域，而有时
正是原方程的解。如解三角方程
,应用万能代换后，得一组解集，而也是原方程的解。再如解反三角方程时，常常在方程的两侧同时取余弦或 正弦变形，导致原方程的定义域扩大，这就要求我们解方程时每做一步变形都要看定 义域的变化情况。将原方程的定义域的缩小部分的数代回原方程，检验是否满足方程；将原方程的定义域扩大部分的数代入原方程检验，判断是不是增根。这样步步为营解出方程的根，就是原方程的解，整个变形过程也保证了原方程解的不变性，因而每一步变形所得的新方程与原方程是对称的。
我们知道，方程是含有未知数的等式，但是经过移项、合并同类项后就可以把方程整理成代数式为零的情况，所以方程的对称性包含着代数式的对称性。我们以多元多项式为例来讨论代数式的对称性。多元多项式一般可分为齐次多项式和非齐次多项式。而对称多项式可以是齐次的，也可以是非齐次的。所谓对称多项式，就是
对元多项式
的变数字母的下标集
施行任意一个置换后，都不改变。则称为对称多项式。由对称多项式的定义，我们可以构造任意一个元对称多项式：
同时我们也可以推出两个对称多项式的和、差、积仍是对称多项式，在整除的情况下，商也是对称多项式，如
整除
所得商为
。更进一步我们可以推广为任意多个对称多项式的积仍是对称多项式；对称多项式的任意次幂仍是对称多项式。这样我们可以归纳出变数字母x与y的齐次对称多项式的一般形式有：
(其中
为常数)
变数字母
的齐次对称多项式的一般形式为
(其中
为常数)
应用这些结论，借助待定系数法，我们既能展开对称多项式的高次幂，又能将对称多项式因式分解，从而为我们解对称方程铺平道路，还能简化代数式的计算。仅举一例说明：
求
的展开式
解析：该式关于字母
对称，故它的展开式也是对称多项式。应用上面的结论，我们可设它的展开式为
。
令
得
令
得
令
得
由这三个等式可得
于是
。
如果把对称多项式的条件更一般化，即对元多项式的变数字母的下标集施行一次轮换后，得到与原来相同的多项式，则称为轮换对称多项式。应用该定义，对那些轮换对称多项式的计算, 往往能使过程简洁明了。如：
计算
如果我们将三个分母相乘通分后再相加，则不胜其烦。但是我们观察到原式是关于的轮换对称式，所以其分母也应是关于的轮换对称式，重点就是对
进行适当转化，目标是使三项的分母相同。经过试验，我们将第一项的变为
, 第二项的变为
,第三项的变为
,轻松解得原式等于。还可以将三项的依次化为
，结果还是。
总之，在解决数学问题时，对于一些看似非方程的问题经过一定的数学变换或构造，使这一非方程的问题转化为方程的形式，并运用方程的有关性质(如根的判别式、根与系数的关系等)来处理，进而使原数学问题得到很好地解决。
其实，从更广泛的意义上讲，代数中的正数与负数，三角中的正弦与余弦，正切与余切，正割与余割等都可视为对称概念，因为前者的平方和为，后者的乘积为，可以把这六项置于正六边形的对称顶点处，有利于从整体上掌握公式；从运算关系角度看， 加与减，乘与除，乘幂与开方，微分与积分等互逆运算可看作对称关系，因为对一个给定的数
,同时给它加上一个任意数，再减去这个数，原数不变；从命题的角度看，正命题与逆否命题，否命题与逆命题也存在对称关系，因为前一对命题和后一对命题的真假性分别是一致的；“共轭”概念也蕴涵着对称性，任意一对共轭复数
的乘积都等于这对复数的实部与虚部的平方和，类似
与
我们可看作是 一对共轭无理数；对偶关系也可视为对称形式，如在集合的运算中，等式
与 等式
就可看作是一对对称等式。
