函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。
函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地解决问题，对称关系还充分体现了数学之美。下面通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探究函数中的对称性质及对称思想方法。
结论1.函数
的图像关于点
对称的充要条件是
任一直线关于它上面的任意点对称，这是从直观上得出的。现在应用该结论我们可以从理论上给出证明：
设直线方程为
,直线上的任一点为
.我们只需验证结论1中的等式成立即可。
。
与结论中的等式一致。举一特例：如设直线为
,在其上任取一点设为
,则有
。即直线 关于点
对称，
取任意值。
特别，当
,
时，函数
的图像关于原点
对称的充要条件是
。
结论2.函数的图像关于直线
对称的充要条件是
即
结论1适用于直线系，结论2适用于抛物线系，即对抛物线
都是关于直线
对称的。
因为对于抛物线上的任一点，我们有
可见
符合结论2中的等式
。同样可以验证
，因为
特别当结论2中的时，即对称轴为
轴时，函数的图像关于轴对称的充要条件是
.如函数
另一方面，函数
的图像关于
轴对称的充要条件是
或
，如抛物线系
都是关于直线
对称的。特别当时，函数的图像关于轴对称的充要条件是
.再如抛物线系
，当
时即为课本上的抛物线系
,对称轴为
，即 中，
时的情况。
结论3.①若函数的图像同时关于点
和点
成中心对称
,则是周期函数，且
是其一个周期。
- 若函数的图像同时关于直线和直线
成轴对称,则是周期函数，且是其一个周期。 - 若函数的图像既关于点成中心对称又关于直线成轴对称,则是周期函数，且
是其一个周期。
为进一步明确结论3中的三个命题，我们给出详细证明：
证明①：
是关于点对称
用
代替
得
整理得
又关于点对称
即
故是周期函数，且是其一个周期.
证明②：同理，略
证明③：同理，略
通过证明我们不难发现，结论3实质上是对结论1与2的综合应用。如三角函数
的图像既关于点
对称，又关于线
对称，当
时，
是其一个周期。
结论4函数与
的图像关于点
成中心对称。
该命题是对结论1的逆向变式推广，或者也可以说是将结论1的整体，分成两部分来 讨论，即结论1是从一个中心对称图形的角度描述的，而结论4是从两个图形成中心对称的角度阐述的，二者是整体与部分的关系。
结论5
①函数与
的图像关于直线成轴对称。
②函数与
的图像关于直线
成轴对称。
③函数与
的图像关于直线
成轴对称。
结论5中的①与结论2也是部分与整体的关系，前者是两个图形成轴对称，后者 是一个轴对称图形。下面证明②与③的正确性。
证明②：设点
是函数图像上任一点，则
。记点关于直线的轴对称点为
,则
，
，所以
,
，代入函数中得
。故点在 函数的图像上。
同理可证：函数图像上任一点关于直线的轴对称点也在函数的图像上。故结论5中的②成立。
证明③：
设点是函数图像上任一点，则。记点关于直线的轴对称点为,则
,
,故
,
代入之中得
点 在函数的图像上。
同理可证：函数的图像上任一点关于直线的轴对称点也 在函数的图像上。故结论5中的③成立。
特别当结论③中的a=0时，即如果两个函数互为反函数时，则它们的图像关于直线
成轴对称，即函数的图像与函数
的图像关于直线成轴对称。
应用上述函数的对称性解题，往往能达到事半功倍的效果。我们知道，当函数值为零时，研究函数的问题就可以转化为研究方程的问题。简言之，几何中的对称问题，我们可以转化为函数中的对称问题，而函数中的对称问题，我们又可以转化为方程中的对称问题。那怎样快速解决问题呢？下周我们先来看方程的对称性。