稍微复习下上周的习题
【例题】设
是
和
的等比中项，则
的最大值为__________.
咱们用了六种方法，分别是
【法一】利用函数单调性处理。
【法二】利用方程思想处理。
【法三】利用三角换元法处理。
【法四】利用向量法处理。
【法五】利用数形结合。
【法六】利用猜想。
那么话接回上一次课的练习题，咱们今天来讨论一下：
【例题】设
,
为实数，若
，则
的最大值是__________.
不难想到我们可以利用方程的思想解决此题，构造方程，将所求的表达式当做方程的系数，于是得到解法一：
【法一】利用方程思想处理。
令
代入
取
但是当我们去思考其他解法的时候，好像就遇到困难了，在这，我们先来看几种解法，再总结：
【法二】利用三角换元法处理。
，令
【法三】利用向量法处理。
由
得
有的同学就会问了，说老师啊，解法我都能看明白，但你这数字也太凑巧了吧，怎么可能想得到？
问得好，那咱们就来挖一挖本道题的本质。
挖本质之前，咱们先大概聊一下数学发展的历史的最开始阶段
公元前500年左右，数学的确是有关数字的一种学问。这是古埃及和古巴比伦时期的数学。在这些文明中，数学所包括的，几乎都以算术为主。他大部分属功利取向，而且充满了“食谱”的特色（比如，“对一个数字这样做，再那样做，你将会得到答案”）
从大约公元前500年到公元300年的这一时期，是希腊数学的时代。古希腊的数学家主要关心几何学。诚然，他们按几何方式，将数字视为线段长之度量，而当他们发现有数字缺乏对应的线段长时，有关数字的研究就停顿下来了。对于希腊人而言，由于他们强调几何学，所以，数学不止研究数字，而且也是有关形状的学问。
那么咱们就来看一看这道“代数”题有什么几何意义吗？
通过GGB的作图（如法四图），我们发现题目所给的条件的这个图看起来好像是一个椭圆？如果真的是椭圆，咱们就可以将
当做一条直线了，也就是
这条直线（斜率固定为
）与椭圆有公共点的时候，截距的最大值（此种思考方式为线性规划，在参与新高考模式的城市中，线性规划不做考点，但笔者建议稍作了解），于是有了
【法四】利用数形结合
实际上一般二元二次方程
所表示的曲线为圆锥曲线，现在同学们是不是恍然大悟，为什么圆的一般方程
省略掉了
，因为咱们学习的圆锥曲线是对称中心（对称轴）在坐标原点（坐标轴）的特殊的圆锥曲线，而圆又是特殊的椭圆。所有的二元二次方程都可以当做圆锥曲线，那么到底什么时候是椭圆，什么时候是双曲线，什么时候是抛物线呢？学有余力的同学可以先行探究，咱们之后的“一题深挖”环节会对此研究探讨。
当然最后我们再来介绍4种其他解法供读者学习，读者可自行总结，也可邮件或后台留言给笔者探讨：
【法五】方程的思想&函数的思想
角度一：求导
角度二：令
，
【法六】利用对偶原理
【法七】构造基本不等式
当且仅当
时取等号
【法八】齐次化
当
时，
当
时，
