【例题】设
是
和
的等比中项，则
的最大值为__________.
做题目的第一步由题可知
即
，
最值问题，我们不难想到通过构造函数，利用函数的单调性求解，于是有了解法一：
【法一】利用函数单调性处理。
由可知，只有
，
时，
才可能取得最大值，
令，有
，
所以
，
设函数
，
则
，
若
且
，
求得
的解为
，
根据单调性，当时，
，
所以
，
即的最大值为
。
函数与方程的数学思想通常可以互相代替，不同的地方在于，函数的思想中，通常将所求的问题当做构造出来的函数的值域，而方程的思想则是利用根与的系数将所求的问题当做方程的系数进行求解，所以我们不难得出解法二：
【法二】利用方程思想处理。
令
，则
代入，有
即
化简得
，
这是关于
的一元二次方程
要是方程有解，则
即
，所以
因此的最大值为。
在转化与化归的数学思想中，咱们把题设和问题的表达式当做什么知识点，就有可能利用什么知识点去求解，找到共性，进行迁移，于是有了解法三-解法六：
【法三】利用三角换元法处理。
令
，
，即
代入，
得
，
由
，有
，
所以的最大值为。
【法四】利用向量法处理。
构造向量
，
，
所以
，
，
由
，
得
，
即的最大值为。
【法五】利用数形结合。
由得
，
令
，
，
则方程表示的是一个椭圆，
那么题目可以转化为，若之前
与椭圆有交点，求
得最大值。
如图可知，直线刚好是椭圆的切线时，取得最大值和最小值，
所以当方程组
有且只有一个解时，取最值，
将
代入椭圆方程，得
，
因为该方程有两个相等的根，
故
，
易得
或
，
所以的最大值为。
在我们之前的求解中，发现取到最值的时候
和的值好像挺巧的，于是我们返过来对这一道题再次进行思考，看看此题能否利用单纯的不等式与不等关系求解证明，于是有了解法六：
【法六】利用猜想。
从前面我们已经得到，当
时，，
估计此时取得最大值为。
因为
，
所以
，
同理
，
所以
，
得，即的最大值为。
随着我们学的越多，我们工具（定理啊，知识面啊之类的）也越多，但是题目却越来越做不出来了？感觉上越来越难了？相信很多人有这样的感觉。
其实你有没有想过，我们真的把前面的只是都学透了？以前的工具是不是我们学了新的东西就可以抛弃掉？
我们小学就学过等高三角形面积比等于底的比例。可是就这么一个简单的定理，却同样可以用在三角形比例计算上，甚至可以直接取代一群人拿来炫耀的梅内劳斯定理，赛瓦定理。深奥和简单仅仅在于我们会不会把以前的工具拿来用。
思考本源，这是一题多解最重要的事情。
工具多了，同一道题多用几遍以前的知识解题（用同一章不同方法解题并不算一题多解.），既能熟悉已学过的知识，又能以熟悉的角度观察新知识。
高中最后一道题，一般称作压轴题，考圆锥曲线的最多。圆锥曲线也几乎是高中学生失分最多的题。但是，50%以上的圆锥曲线证明题实际上是几何证明题拿来给你证。而很遗憾的是大部分学生（几乎是全部）都只看到了圆锥曲线代数的一面，却忽视了它本来是属于几何层面的，代数只不过是近百来年才研究的而已，代数问题同理。
那么最后你真的悟了吗？附上一道浙江真题试试看大家能有多少种解法，咱们下期见！
【练习】设
,
为实数，若
，则
的最大值是__________.