在平常的学习中知道，如果把两相交圆 ⊙
和⊙
：
的方程相减所得到的直线l：
表示两圆公共弦所在直线方程。但很多同学在用这个结论时没注意到前提条件必须是两圆相交。如果两圆不相交，两圆相减照样可以得到直线l，但l的几何意义就改变了。因而有必要就两圆的5种位置关系进行讨论直线l的几何意义。我就两圆的5种位置关系进行研究。
一．两圆相交
设
、
是两圆的交点，则有
和
成立，即
、
满足方程
即
。所以直线l表示两圆相交弦所在直线。
二．两圆相切（内切或外切）
当把两相交的圆逐渐往两侧移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆外切，同时与两圆相交的直线l也就与两圆只有一个公共点，直线l成为两外切圆的过同一切点的公切线。因此，直线l：
表示两外切圆的过同一切点的公切线。当把两相交的圆逐渐往中间移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆内切，同时，与两圆相交的直线l也就与两圆只有一个公共点，直线l成为两内切圆的过同一切点的公切线。因此，直线l：
表示两内切圆的公切线。例如，圆
：
与圆
：
相切于原点，那么两圆相减得：
，该直线与两圆相切于原点。下面就两圆外切情况加以证明。
设圆，圆的半径分别为
，则
，
。由两圆外切得： 
，化简得： 
即：
又
，
，即：
，
。利用直线Ax+By+C=0分线段
的比为
，那么直线l分的比为
=
=
。又
，所以
⊥l（当直线与直线l的斜率不存在时也成立）；且
，所以点到直线l的距离为
，点到直线l的距离为
。所以直线l与两圆相切。
三．两圆相离
这里首先得了解式子
的含义。因为圆的方程有两种表示，即
。当点P（x，y）在圆外时，式子
表示点P到圆的切线长。因而，对直线方程
可以变形为：
，即点P到两圆的切线长相等。因此，直线l的几何意义是：到两相离圆的切线长相等的点的集合。更进一步，如果两圆的半径相等，直线l就是两圆的对称轴。
四．两圆内含
同“三”易知，直线l上的点到两圆的切线长相等。
（注：以上两圆非同心圆）
五．范例
例：已知圆
与圆：
外切于点O，且两圆的过点O的公切线为
，已知圆的圆心落在直线上
，求圆的方程。
解：易得
。设圆
：
，即：
，圆心坐标
落在直线，解得
。所以圆的方程为
。