在数学史上，可辨识的代数记号初次有系统的使用，大概是从丢番图开始的。他在大约公元250年住在亚历山大。他的论著《数论》——仅存原先13卷中的6卷——通常被视为第一本“代数教科书”。丢番图使用特殊的符号去代表一个方程式中的未知数，及未知数之乘幂；同时，他也运用了表示减与相等的符号。

 

今天，数学书总是到处充满着符号，但是数学记号并不等于数学，其情况就如同记谱法并不等于音乐一样。乐谱的一页呈现一段音乐，当乐谱上的音符被唱出来或者被乐器演奏出来的时候，你才可以得到音乐本身。也就是说，在他的表演中，音乐变得有了生命，并且成为了我们经验的一部分。对于数学也是一样，书页上的符号只不过是数学的一种表现。要是让一位有素养的表演者（比如受过数学训练的人）来读的话，印刷业上的符号就拥有了生命——正如同抽象的交响曲一样，数学在读者的心灵之中存活与呼吸。

 

数学与音乐有这么多的相似性，两者都有各自抽象的记号，并且都为各自的抽象法则所支配，所以如果说很多或者说大多数数学家也拥有音乐天分，那一点也不让人惊讶，我可以随便给你举出几个名字，比如贝多芬（见附录奏鸣曲《月光》的数学表达），爱因斯坦，詹驹等等。

 

事实上，对于大部分亦绵延两千五百年之久的西方文明来说，从古希腊开始，数学与音乐就被视为一体之两面，两者都被人为是对于周秩序提供洞见的学科。在17世纪科学方法兴起之后，这二者才开始分道扬镳。

 

不过，尽管他们的密切联系有悠久的历史，数学与音乐却直到最近才被发现有一个非常显著的差异。虽然少数受过很好音乐训练的人可以读懂乐谱，并且在心里之中听到这段音乐，不过，如果同一段音乐由一位有素养的音乐家来演奏，那么，任何人只要拥有聆听的感官能力，也将能够欣赏。也就是说无需专业训练，雅俗共赏。

 

然而，对于数学的大部分历史而言，欣赏数学的唯一方法，就是去“视读”其中的符号。尽管数学的结构与类型一点一滴反映了人类心灵的结构并与之产生共鸣，好比音乐的结构与模式一样，人类却未发展出一双耳朵的数学等价物体，数学只能利用“心灵的眼睛”而得到观看。

 

不过由于近年来电子计算机与视频技术的发展，在某种程度上，数学变得更容易让普通人亲近，虽然目前只有一小部分数学容许这样的视觉“操弄”，然而我们已经有能力多少传递一点数学的美与调谐给门外汉，而这些当然是我们研究数学时，所“看到”以及所经验到的。

（注：数学大师，《生命的游戏》电子游戏作者约翰·何顿·康威不幸因新冠肺炎日前去世，这款游戏用了最基本的数学模型，却暗藏了数学的推理逻辑）

 

附录：

原来贝多芬是个数学家？音乐和数学还有这样的巧妙联系！ 

2018-01-06 10:34

音乐的巨人贝多芬

为什么他的音乐在流转百年后

至今依然扣人心弦呢？

有人发现

其实，贝多芬的音乐和数学有着密不可分的关连！

△以著名的第十四号钢琴奏鸣曲《月光》为例

△开头从一连串绵长的三连音开始，贝多芬曾说过：「我依照脑中的图象谱曲。」无怪乎当年贝多芬的初版标题其实是「幻想曲式的奏鸣曲」

△将相同音型的D大调三和弦（D、F﹟、A）拉出来检视，从上列数学程序中可以得出三颗音符的正弦波，其组合出来的动听和弦称为「协和音程」。而这种计算方式也让我们可以看见贝多芬的「脑内图象」。

△然而协和音程与不协和音程的组合也是其迷人之处，贝多芬将两者不可量化的数学必然性谱成乐曲，创作出柏辽兹所誉：「人类难以言喻的一首诗。」

英国数学家希尔维斯（James Joseph Sylvester，1814～1897）曾说过：“难道不能形容音乐是数学的感性，而数学是音乐的理性？”音乐家感受数学，数学家思考音乐，两者关连密度有多高就看读者们心中如何定义了。

从这里我们便不难理解月光奏鸣曲会是动听的传世之作，也能一窥贝多芬是如何靠着数学原理，在耳聋的情况下作出名曲，毕竟只要有心和毅力，有克服命运的意志，有谁不能成功呢？

▼内容部分取自TED，完整视频请看“

Music and math: The genius of Beethoven - Natalya St. Clair“

附送一个小彩蛋：

”▼《圆周率交响曲》

没想到原来圆周率竟然也可以用乐器演奏出来！

贝多芬的一生饱经痛苦、绝望，但却从未屈服

在短短的五十七年生涯里

为人类留下了无价的音乐宝藏

在他的所有创作中

钢琴奏鸣曲是最精华的所在

也贯穿着了他的整个音乐生涯

这其中有一首是贝多芬自己认为

在他的钢琴奏鸣曲中最好的一首

也是贝多芬创作走向成熟期的辉煌杰作